Çözümlü Sorular (11. Sınıf)

Balondan atılan top

Hava direncinin ihmâl edildiği ve yerçekimi ivmesin büyüklüğü \(10\, \rm m/s^2\) olan bir ortamda, \(10\,\text{m/s}\)'lik hız büyüklüğü ile düşey olarak yükselmekte olan bir balon yerden \(80\, \text{m}\) yüksekte iken "yere göre" \(20\, \rm m/s\) hızla düşey olarak yukarı atılan top yer yüzeyine kaç saniyede ulaşır?

Çözüm: 

Cismin yere göre hızı, yer sisteminde ölçülen zaman ve konuma göre olan hızıdır. Bu hız atış hızı olarak alınabilir. Top yukarı yönde hareket ederken, ilgili zaman

\[v=v_0-gt\]

eşitliğinden hesaplanır. Cisim maksimum yüksekliğe \(t_1\) sürede çıkacaktır. Dönüş zamanı maksimum yükseklikten atıldığı seviyeye kadar düşme zamanı \(t_2\) ile \(105\, \rm m\) yükseklikten düşme zamanı olan \(t_3\)'ün toplamı olur. Böylece toplamda yere ulaşma süresi (uçuş zamanı) \(t_1+t_2+t_3\) olarak hesaplanır. Maksimum noktada hız sıfırlanacaktır. Dolayısıyla, \(0=20-10t_1\) eşitliğinden çıkış süresi \(t_1=2\,\rm s\), ilk seviyeye dönüş süresi \(t_1=t_2=2\,\rm s\) bulunur. \(105\,\rm m\) yükseklikten düşme süresini hesaplamak için bu hizadaki hız yine \(20\, \rm m/s\) olacağından

\[105=20t_3+\frac{1}{2}gt_3^2 \]

eşitliğiyle \(t_3=3\,\rm s\) olur. Böylece yere ulaşma süresi \[t_1+t_2+t_3=2+2+3=7\, \rm s\] olarak bulunur.

Mermi ve hedef sorusu

Bir silah ile hedef alınan noktaya doğru atış yapılıyor ve mermi bu noktadan düşey olarak \(45\, \rm cm\) aşağı isabet ediyor. Mermi yatayda \(75\, \rm m\) yol aldığına göre ilk atış hızı kaç \(\rm m/s\) 'dir? (Yerçekimi ivmesi büyüklüğünün \(10\, \rm m/s^2\) olduğu ortamın direnci ihmâl ediliyor.)

Çözüm:

Yatay uzaklık \(x\) olsun. O hâlde, \(t\) sürede \(v_x\) yatay hızı

\[v_x=\frac{x}{t}\]

olur. Mermi, düşeyde \(h\) kadar yol gider ve bu yol uzunluğu

\[h=v_{0y} t+\frac{1}{2}gt^2,\quad (v_{0y}=0)\]

olarak ifade edilir. Düşeyde gidilen mesafe \(h=45\,\rm m\) olduğundan, hedefe çarpma süresi 

\[t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2(0.45\,\rm m)}{10\,\rm m/s^2}}=0.3\,\rm s\]

bulunur. Böylece, merminin ilk atıldığı yatay hız

\[v_x=\frac{x}{t}=\frac{75\,\rm m}{0.3\, \rm s}=250\,\rm m/s\]

olarak elde edilir.

Düşey atış problemi - 1

Sürtünmelerin ihmâl edildiği bir ortamda, yerden \(60\,\rm m\) yükseklikten düşey olarak \( 20\, \rm m/s\) ilk hız ile yukarı atılan küçük bir top yerden maksimum kaç metre yükseğe çıkabilmiştir?

Çözüm: 

Topun \(60\,\rm m\) yükseklikten itibaren çıkabileceği maksimum yükseklik zamansız hız bağıntısı ile

\(h_m = \frac{v_0^2}{2g}=\frac{20\,\rm m/s}{2\times 10\,\rm m/s^2}=20\,\rm m\)

olarak bulunur. Böylece top yerden en fazla

\(h=60+h_m=60\,\rm m+20\,\rm m=80\,\rm m\) yüksekliğe çıkar.

Düşey atış problemi - 2

Hava direncinin ihmâl edildiği bir ortamda, bir cisim \(30\, \rm m/s\) ilk hız ile yerden yukarı düşey olarak atılıyor. Buna göre,
a) Cismin çıkabileceği maksimum yükseklik nedir?
b) Cisim yükselirken \(10\,\rm m/s\) hıza ulaştığı anda yerden yüksekliği ne olur?
c) Cismin hava kalma süresi nedir?

Çözüm: 

a) Zamansız hız ifadesinden,

\(h_m = \dfrac{v_0^2}{2g}\) 

olur. \(v_0=30\,\rm m/s\) ve \(g=10\,\rm m/s^2\) alınırsa \(h_m = 45\,\rm m\) bulunur.

b) Son hızı içeren zamansız hız ifadesinden \(v^2 = v_0^2 - 2 g h\) olması cihetiyle, \(v_0=30\,\rm m/s\), \(v=10\,\rm m/s\) ve yerçekimi ivmesi \(g=10\,\rm m/s^2\) olarak alınırsa \(h= 40\,\rm m\) bulunur.

c) Çıkış süresi \(t_c= v_0/g\) olduğundan \(t_c=3\,\rm s\) olur. Böylece toplam süre \(2t_c=6\,\rm s\) bulunur.

Yatay atış

Hava sürtünmesinin ihmâl edildiği bir ortamda \(45\,\rm cm\) yükseklikteki dik bir yamaç üzerinde bulunan küçük bir taş aniden yamacın kenarından yere düşmektedir. Taşın düştüğü noktanın yamaca olan yatay uzaklığı \(36\,\rm cm\) olarak ölçülmüştür. Buna göre, taş hangi hızla yamaçtan ayrılmıştır?

Çözüm: 

Taşın yere düşme süresi 

\(h=\frac{1}{2} g t^2\) ifadesinde \(h=45\,\rm m\) ve \(g=10\,\rm m/s^2\) alınarak \(t=3\,\rm s\) bulunur. Yatay mesafe \(36\,\rm m\) olduğundan, yatay hız \(v_x=\frac{36\,\rm m}{3\,\rm s} = 12\,\rm m/s\) olarak elde edilir. Bu hız, aynı zamanda ilk hızdır. Çünkü sürtünmeler ihmal edilmektedir.